R8 測量士 午前No.15 誤差伝播の法則で高低差の標準偏差を求める
距離と角度それぞれの誤差が、高低差にどれだけ影響するかを合成する問題です。単位をmmにそろえるのがコツです。
この問題の答え
正解は 2（約3.2 mm）
考え方
高低差は Z＝D・sinθ で決まります。Dにも θ にも誤差があるので、それぞれが Z にどれだけ響くかを出して合成します。
① 距離の誤差が響く分
σD ＝ 5 ＋ 5×10⁻⁶×100,000 ＝ 5.5 mm（Dをmmに直して代入）
Zへの響き ＝ sin24° × 5.5 ＝ 0.4067 × 5.5 ＝ 2.24 mm
② 角度の誤差が響く分
σθ ＝ 5″ ÷ (2×10⁵) ＝ 2.5×10⁻⁵ ラジアン
Zへの響き ＝ D × cos24° × σθ ＝ 100,000 × 0.9136 × 2.5×10⁻⁵ ＝ 2.28 mm
③ 合成する
互いに無関係な誤差は「2乗して足して平方根」で合わせます。
σZ ＝ √(2.24² ＋ 2.28²) ＝ √10.2 ＝ 約3.2 mm
間違えやすいポイント
- Dはmm単位に直す（100.000 m＝100,000 mm）。mのまま計算すると桁が合いません。
- 角度は必ずラジアンに変換してから掛けます。
- 合成は単純な足し算ではなく2乗和の平方根。足すと約4.5 mmになり誤答します。