R6 測量士 午前No.16 誤差伝播でX・Y座標の標準偏差を求める
放射法で設置したTS点のX・Y座標の標準偏差を、距離と角度の誤差から合成する問題です。まず方向角を出します。
この問題の答え
正解は 2（σXC＝3 mm、σYC＝5 mm）
解き方
① 方向角θを出す：A→Bの方向角T＝135°（A(160,50)→B(20,190)はΔX＝−140・ΔY＝＋140）。θ＝T＋α−360＝135＋285−360＝60°。
② 単位をそろえる：σθ＝σα＝5″＝5÷(2×10⁵)＝2.5×10⁻⁵ rad、D＝100,000 mm、σD＝5 mm。
X座標の標準偏差
XC＝XA＋D cosθ より σXC²＝(cosθ・σD)²＋(D sinθ・σθ)²＝(0.5×5)²＋(100,000×0.866×2.5×10⁻⁵)²＝2.5²＋2.17²≒10.9 → σXC≒3 mm。
Y座標の標準偏差
YC＝YA＋D sinθ より σYC²＝(sinθ・σD)²＋(D cosθ・σθ)²＝(0.866×5)²＋(100,000×0.5×2.5×10⁻⁵)²＝4.33²＋1.25²≒20.3 → σYC≒5 mm。
間違えやすいポイント
- 先に方向角を出す。距離はmm、角度はラジアンにそろえる。
- 合成は2乗和の平方根。X成分とY成分で cos と sin の役割が入れ替わる。