R4 測量士 午前No.16 TSによる高低差の標準偏差・誤差伝播
TSによる高低差の標準偏差・誤差伝播について、公式問題の条件と○×文を一つずつ照らし、正しい理由・誤りの理由を初心者向けに整理します。
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この問題の答え
正解は 3
○×文ごとの詳しい解説
判断1 → 正しい
確認する文：高低差Z＝D・sin i を距離Dで偏微分した値は sin i₀ ＝ sin30° ＝ 0.5 である（式のア）。
正しい。「Dで偏微分」とは、iを固定したままDが少し変わるとZがどれだけ変わるかの割合のこと。Z＝D×sin i なので、この割合はsin iです。i₀＝30°を入れて sin30°＝0.5（ア）になります。
判断2 → 正しい
確認する文：距離測定の標準偏差σ_Dは（5＋5×10⁻⁶D）mmで、D₀＝100.000 m（＝100,000 mm）を代入すると5.5 mmとなる（式のイ）。
正しい。5 ＋ 5×10⁻⁶×100,000 ＝ 5 ＋ 0.5 ＝ 5.5 mmです。
判断3 → 誤り
確認する文：TSで斜距離D＝100.000 m、高低角i＝30°を観測し、高低差Z＝D・sin iを求める。距離の標準偏差σ_D＝（5＋5×10⁻⁶D）mm（Dはmm単位）、高低角の標準偏差σ_i＝5″、1ラジアン＝2×10⁵秒とすると、誤差伝播の法則で求める高低差Zの標準偏差σ_Zは約1.86 mmとなる。
誤り。正しくは3.50 mm（選択肢3）です。
① 距離の誤差が高低差に効く分＝0.5×5.5 mm＝2.75 mm。
② 角度の誤差が効く分＝D×cos30°×σ_i＝86,603 mm×0.000025＝2.17 mm（ウ＝86,603、エ＝5″÷(2×10⁵)＝0.000025ラジアン）。
③ 誤差伝播の法則で合成：σ_Z＝√(2.75²＋2.17²)＝√12.25＝3.50 mm（オ）。
※誤差伝播＝距離と角度それぞれの誤差が、計算結果（高低差）にどれだけ影響するかを求めるルール。互いに無関係な誤差は「2乗して足して平方根」で合成します。
初心者向けの見直し方
- まず「誰が・何を・いつ行うか」を分け、主語と対象を確認します。
- 誤りの文は、どの語句や数値を直せば正しい文になるかまで確認します。
- 計算問題は答えだけでなく、使う式・単位・代入順を問題画像と照らします。